x=tanθ とおく定積分（1/(1+x²)）（B）

(1) $x=\tan\theta$ とおくと $dx=\dfrac{d\theta}{\cos^2\theta}$，$1+x^2=\dfrac{1}{\cos^2\theta}$．$x:-1\to\sqrt{3}$ のとき $\theta:-\dfrac{\pi}{4}\to\dfrac{\pi}{3}$ \[ \int_{-1}^{\sqrt{3}}\frac{dx}{1+x^2}=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\cos^2\theta\cdot\frac{d\theta}{\cos^2\theta}=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}d\theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7}{12}\pi \] (2) $x=2\tan\theta$ とおくと $dx=\dfrac{2}{\cos^2\theta}d\theta$，$x^2+4=\dfrac{4}{\cos^2\theta}$．$x:0\to 2$ のとき $\theta:0\to\dfrac{\pi}{4}$ \[ \int_0^2\frac{dx}{x^2+4}=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{\cos^2\theta}{4}\cdot\frac{2}{\cos^2\theta}\,d\theta=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{2}\,d\theta=\frac{\pi}{8} \] (3) $\dfrac{1}{x^2(1+x^2)}=\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{1+x^2}$ であるから \[ \int_1^{\sqrt{3}}\frac{dx}{x^2}-\int_1^{\sqrt{3}}\frac{dx}{1+x^2}=\left[-\frac{1}{x}\right]_1^{\sqrt{3}}-\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\right)=1-\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{\pi}{12} \] （第 2 項は $x=\tan\theta$ で $\theta:\dfrac{\pi}{4}\to\dfrac{\pi}{3}$ とおき換えた．）