絶対値を含む定積分（区間を分ける）（B）

(1) $0\leqq x\leqq\pi$ で $\sin x\geqq 0$，$\pi\leqq x\leqq 2\pi$ で $\sin x\leqq 0$ であるから \[ \int_0^{\pi}\sin x\,dx-\int_{\pi}^{2\pi}\sin x\,dx=\Bigl[-\cos x\Bigr]_0^{\pi}+\Bigl[\cos x\Bigr]_{\pi}^{2\pi}=2+2=4 \] (2) $(x\log x-x)'=\log x+1-1=\log x$ である．$\dfrac{1}{e}\leqq x\leqq 1$ で $\log x\leqq 0$，$1\leqq x\leqq e$ で $\log x\geqq 0$ であるから \[ -\Bigl[x\log x-x\Bigr]_{\frac{1}{e}}^{1}+\Bigl[x\log x-x\Bigr]_1^e=-\left\{-1-\left(-\frac{2}{e}\right)\right\}+\{0-(-1)\}=\left(1-\frac{2}{e}\right)+1=2-\frac{2}{e} \] （下図の網かけ部分の面積に等しい．）