絶対値を含む定積分（区間を分ける）（A）

(1) $0\leqq x\leqq\dfrac{\pi}{2}$ で $\cos x\geqq 0$，$\dfrac{\pi}{2}\leqq x\leqq\pi$ で $\cos x\leqq 0$ であるから \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos x\,dx-\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\cos x\,dx=\Bigl[\sin x\Bigr]_0^{\frac{\pi}{2}}-\Bigl[\sin x\Bigr]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}=1-(-1)=2 \] (2) $0\leqq x\leqq 1$ で $e^x\leqq e$，$1\leqq x\leqq 2$ で $e^x\geqq e$ であるから \[ \int_0^1(e-e^x)\,dx+\int_1^2(e^x-e)\,dx=\Bigl[ex-e^x\Bigr]_0^1+\Bigl[e^x-ex\Bigr]_1^2 \] \[ =(e-e+1)+\{(e^2-2e)-(e-e)\}=e^2-2e+1=(e-1)^2 \] （下図の網かけ部分の面積に等しい．）