f′(x)/f(x) 型などの定積分（B）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: f′(x)/f(x) 型などの定積分（A） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
次の定積分を求めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin x\cos^2x\,dx$
\item[(2)] $\displaystyle\int_0^{\pi}\cos^2 2x\,dx$
\item[(3)] $\displaystyle\int_0^1\frac{2x+1}{x^2+x+1}\,dx$
\end{enumerate}
(1) $(\cos^3x)'=-3\cos^2x\sin x$ であるから
\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin x\cos^2x\,dx=\left[-\frac{\cos^3x}{3}\right]_0^{\frac{\pi}{2}}=0-\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3} \]
(2) $\displaystyle\int_0^{\pi}\frac{1+\cos 4x}{2}\,dx=\left[\frac{x}{2}+\frac{\sin 4x}{8}\right]_0^{\pi}=\frac{\pi}{2}$
(3) $(x^2+x+1)'=2x+1$ であるから $\Bigl[\log(x^2+x+1)\Bigr]_0^1=\log 3$
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