f′(x)/f(x) 型などの定積分（A）

(1) $\dfrac{x}{x^2+1}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{(x^2+1)'}{x^2+1}$ であるから $\left[\dfrac{1}{2}\log(x^2+1)\right]_0^1=\dfrac{1}{2}\log 2$ (2) $\displaystyle\int_0^{\pi}\frac{1-\cos 2x}{2}\,dx=\left[\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}\right]_0^{\pi}=\frac{\pi}{2}$ (3) $\dfrac{1}{x^2-1}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}\right)$ であるから \[ \int_2^3\frac{dx}{x^2-1}=\left[\frac{1}{2}\log\left|\frac{x-1}{x+1}\right|\right]_2^3=\frac{1}{2}\left(\log\frac{1}{2}-\log\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{2}\log\frac{3}{2} \]