絶対値を含む導関数から関数を決める（B）

$C_1$，$C_2$ は積分定数とする． $x\geqq 0$ のとき $f'(x)=e^x$ より $f(x)=e^x+C_1$．$f(0)=0$ より $C_1=-1$ $x<0$ のとき $f'(x)=e^{-x}$ より $f(x)=-e^{-x}+C_2$ $f(x)$ は微分可能であるから $x=0$ で連続であり， $\displaystyle\lim_{x\to -0}f(x)=-1+C_2=f(0)=0$ より $C_2=1$ よって $f(x)=\begin{cases}e^x-1 & (x\geqq 0)\\ 1-e^{-x} & (x<0)\end{cases}$