絶対値を含む導関数から関数を決める（A）

$C_1$，$C_2$ は積分定数とする． $x<1$ のとき $f'(x)=-(x-1)$ であるから $f(x)=-\dfrac{x^2}{2}+x+C_1$ $x\geqq 1$ のとき $f'(x)=x-1$ であるから $f(x)=\dfrac{x^2}{2}-x+C_2$ $f(0)=0$ より $C_1=0$ $f(x)$ は微分可能であるから $x=1$ で連続である． \[ \lim_{x\to 1-0}f(x)=-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2},\qquad f(1)=\frac{1}{2}-1+C_2 \] よって $C_2-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$ より $C_2=1$ したがって $f(x)=\begin{cases}-\dfrac{x^2}{2}+x & (x<1)\\[2mm] \dfrac{x^2}{2}-x+1 & (x\geqq 1)\end{cases}$