導関数と初期値から関数を決める（B）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: 導関数と初期値から関数を決める（A） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
\begin{enumerate}
\item[(1)] $f'(x)=2x-\dfrac{1}{x^2}$，$f(1)=3$ を満たす関数 $f(x)$ を求めよ．
\item[(2)] 点 $\left(\dfrac{\pi}{2},\,0\right)$ を通り，曲線上の各点 $(x,\,y)$ における接線の傾きが $\cos^2x$ である曲線の方程式を求めよ．
\end{enumerate}
$C$ は積分定数とする．
(1) $f(x)=\displaystyle\int\left(2x-\frac{1}{x^2}\right)dx=x^2+\frac{1}{x}+C$
$f(1)=2+C=3$ より $C=1$．よって $f(x)=x^2+\dfrac{1}{x}+1$
(2) $\cos^2x=\dfrac{1+\cos 2x}{2}$ であるから
\[ y=\int\frac{1+\cos 2x}{2}\,dx=\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}+C \]
$x=\dfrac{\pi}{2}$ のとき $y=0$ より $\dfrac{\pi}{4}+0+C=0$，$C=-\dfrac{\pi}{4}$
よって $y=\dfrac{x}{2}+\dfrac{\sin 2x}{4}-\dfrac{\pi}{4}$
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