導関数と初期値から関数を決める（A）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: 導関数と初期値から関数を決める（B） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
\begin{enumerate}
\item[(1)] $f'(x)=\dfrac{1}{x}+e^x\ (x>0)$，$f(1)=e$ を満たす関数 $f(x)$ を求めよ．
\item[(2)] 点 $(0,\,1)$ を通り，曲線上の各点 $(x,\,y)$ における接線の傾きが $\sin x+\cos x$ である曲線の方程式を求めよ．
\end{enumerate}
$C$ は積分定数とする．
(1) $f(x)=\displaystyle\int\left(\frac{1}{x}+e^x\right)dx=\log x+e^x+C$
$f(1)=e+C=e$ より $C=0$．よって $f(x)=\log x+e^x$
(2) 曲線を $y=f(x)$ とすると $f'(x)=\sin x+\cos x$ より
\[ f(x)=-\cos x+\sin x+C \]
$f(0)=-1+C=1$ より $C=2$．よって $y=\sin x-\cos x+2$
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