xⁿ, 1/x, eˣ などの基本的な不定積分（A）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: xⁿ, 1/x, eˣ などの基本的な不定積分（B） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
次の不定積分を求めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\displaystyle\int\left(3x^2-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}\right)dx$
\item[(2)] $\displaystyle\int\sqrt{x}(x-1)\,dx$
\item[(3)] $\displaystyle\int(2\sin x-3\cos x)\,dx$
\item[(4)] $\displaystyle\int(e^x+2^x)\,dx$
\item[(5)] $\displaystyle\int\tan^2x\,dx$
\end{enumerate}
$C$ は積分定数とする．
(1) $x^3-2\log|x|-\dfrac{1}{x}+C$
(2) $\displaystyle\int\sqrt{x}(x-1)\,dx=\int\left(x^{\frac{3}{2}}-x^{\frac{1}{2}}\right)dx=\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}-\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+C=\frac{2}{5}x^2\sqrt{x}-\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C$
(3) $-2\cos x-3\sin x+C$
(4) $e^x+\dfrac{2^x}{\log 2}+C$
(5) $\tan^2x=\dfrac{1}{\cos^2x}-1$ であるから $\displaystyle\int\left(\frac{1}{\cos^2x}-1\right)dx=\tan x-x+C$
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