y 軸上の点を通る接線の本数を接点で数える（A）

$y'=(1-x)e^{-x}$ より，接点 $(t,\,te^{-t})$ における接線は \[ y=(1-t)e^{-t}(x-t)+te^{-t} \] これが点 $(0,\,a)$ を通る条件は $a=-t(1-t)e^{-t}+te^{-t}=t^2e^{-t}$ ここで，$y''=(x-2)e^{-x}$ であるから，$y'$ は $x\leqq 2$ で減少し，$x\geqq 2$ で増加する． $x$ 座標が $p$，$q\ (p<q)$ である異なる 2 点で曲線に接する直線 $y=mx+n$ があるとして，$h(x)=xe^{-x}-(mx+n)$ とおくと，$h(p)=h(q)=0$，$h'(p)=h'(q)=0$ である．$h'(x)=(1-x)e^{-x}-m$ は $x\leqq 2$ で減少し，$x\geqq 2$ で増加するから，$h'(x)=0$ となる $x$ は $x\leqq 2$，$x\geqq 2$ のそれぞれに高々 1 つしかない．よって $p<2<q$ であり，$p<x\leqq 2$ のとき $h'(x)<h'(p)=0$，$2\leqq x<q$ のとき $h'(x)<h'(q)=0$ となる．ゆえに $h(x)$ は $p\leqq x\leqq q$ で減少し，$h(q)<h(p)$ となって $h(p)=h(q)$ に矛盾する． したがって，接点が異なれば接線も異なるから，接線の本数は $a=t^2e^{-t}$ を満たす実数 $t$ の個数に等しい． $g(t)=t^2e^{-t}$ とおくと $g'(t)=t(2-t)e^{-t}$ \[ \begin{array}{c|ccccc} t & \cdots & 0 & \cdots & 2 & \cdots \\ \hline g'(t) & - & 0 & + & 0 & - \\ \hline g(t) & \searrow & 0 & \nearrow & \frac{4}{e^2} & \searrow \end{array} \] また，$\displaystyle\lim_{t\to -\infty}g(t)=\infty$，$\displaystyle\lim_{t\to\infty}g(t)=0$ である． $t$ の個数は，$u=g(t)$ のグラフと直線 $u=a$ の共有点の個数に一致する． よって \begin{itemize} \item $a>\dfrac{4}{e^2}$ のとき 1 本 \item $a=\dfrac{4}{e^2}$ のとき 2 本 \item $0<a<\dfrac{4}{e^2}$ のとき 3 本 \item $a=0$ のとき 1 本 \item $a<0$ のとき 0 本 \end{itemize} （参考）接点の個数と接線の本数 2 次関数・3 次関数のグラフでは，接点が異なれば接線も異なる．実際，直線 $y=mx+n$ が曲線 $y=f(x)$ に $x=p$，$x=q\ (p\neq q)$ の 2 点で接するとすると，$f(x)-(mx+n)$ は $(x-p)^2(x-q)^2$ で割り切れるから，$f(x)$ は 4 次以上の多項式でなければならない．したがって，3 次以下の多項式で表される曲線では，引ける接線の本数は接点の個数と一致する． 4 次以上の関数のグラフでは，異なる 2 点で接する直線（二重接線）が存在することがある．例えば $y=x^4-2x^2$ では \[ x^4-2x^2-(-1)=(x^2-1)^2 \] であるから，直線 $y=-1$ は曲線と 2 点 $(-1,\,-1)$，$(1,\,-1)$ で接する．このとき 2 つの接点に対して接線は 1 本しかなく，接点の個数と接線の本数は一致しない． 本問の曲線は多項式で表されないので，上の解答では二重接線がないことを確かめてから，接点の個数を数えた．