平均値の定理を使う極限（B）

$x>0$ のとき $\dfrac{1}{x+1}<\dfrac{1}{x}$ である．$f(t)=e^t$ はすべての実数 $t$ で微分可能で，$f'(t)=e^t$ である．区間 $\left[\dfrac{1}{x+1},\,\dfrac{1}{x}\right]$ において，$f(t)$ に平均値の定理を用いると \[ e^{\frac{1}{x}}-e^{\frac{1}{x+1}}=e^c\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)=\frac{e^c}{x(x+1)},\quad \frac{1}{x+1}<c<\frac{1}{x} \] を満たす $c$ が存在する．よって \[ x^2\left(e^{\frac{1}{x}}-e^{\frac{1}{x+1}}\right)=\frac{x}{x+1}e^c \] $x\to\infty$ のとき $\dfrac{1}{x+1}\to 0$，$\dfrac{1}{x}\to 0$ であるから，はさみうちの原理より $c\to 0$ また，$\dfrac{x}{x+1}=\dfrac{1}{1+\frac{1}{x}}\to 1$ であり，$e^t$ は連続であるから $e^c\to e^0=1$ したがって $\displaystyle\lim_{x\to\infty}x^2\left(e^{\frac{1}{x}}-e^{\frac{1}{x+1}}\right)=1$