平均値の定理を使う極限（A）

$x>0$ のとき $\sin x<x$ である．$f(t)=e^t$ はすべての実数 $t$ で微分可能で，$f'(t)=e^t$ である．区間 $[\sin x,\,x]$ において，$f(t)$ に平均値の定理を用いると \[ \frac{e^x-e^{\sin x}}{x-\sin x}=e^c,\quad \sin x<c<x \] を満たす $c$ が存在する． $x\to +0$ のとき $\sin x\to 0$，$x\to 0$ であるから，はさみうちの原理より $c\to 0$ $e^t$ は連続であるから，$x\to +0$ のとき $e^c\to e^0=1$ したがって $\displaystyle\lim_{x\to +0}\frac{e^x-e^{\sin x}}{x-\sin x}=1$