平均値の定理で不等式を示す（B）

(1) $f(x)=e^x$ はすべての実数 $x$ で微分可能で，$f'(x)=e^x$ である．区間 $[a,\,b]$ において，$f(x)$ に平均値の定理を用いると \[ \frac{e^b-e^a}{b-a}=e^c,\quad a<c<b \] を満たす $c$ が存在する．$e^x$ は増加関数であるから $e^a<e^c<e^b$．各辺に $b-a>0$ を掛けて \[ e^a(b-a)<e^b-e^a<e^b(b-a) \] したがって，不等式は成り立つ． (2) $a=b$ のときは両辺とも $0$ で成り立つ．$a\neq b$ のとき，不等式は $a$ と $b$ を入れかえても変わらないから，$a<b$ としてよい．$f(x)=\sin x$ はすべての実数 $x$ で微分可能で，$f'(x)=\cos x$ である．区間 $[a,\,b]$ において，$f(x)$ に平均値の定理を用いると \[ \sin b-\sin a=(b-a)\cos c,\quad a<c<b \] を満たす実数 $c$ が存在する．$|\cos c|\leqq 1$ であるから \[ |\sin b-\sin a|=|b-a||\cos c|\leqq|b-a| \] したがって，すべての実数 $a$，$b$ について $|\sin b-\sin a|\leqq|b-a|$ が成り立つ．