平均値の定理で不等式を示す（A）

$f(x)=\log x$ は $x>0$ で微分可能で，$f'(x)=\dfrac{1}{x}$ 区間 $[a,\,b]$ で平均値の定理を用いると \[ \frac{\log b-\log a}{b-a}=\frac{1}{c},\quad a<c<b \] を満たす $c$ が存在する．$0<a<c<b$ より $\dfrac{1}{b}<\dfrac{1}{c}<\dfrac{1}{a}$ であるから \[ \frac{1}{b}<\frac{\log b-\log a}{b-a}<\frac{1}{a} \] 各辺に $b-a\ (>0)$ を掛けて \[ \frac{b-a}{b}<\log b-\log a<\frac{b-a}{a} \] したがって，不等式は成り立つ．