平均値の定理を満たす c を求める（B）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: 平均値の定理を満たす c を求める（A） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
次の関数と区間について，平均値の定理の条件を満たす $c$ の値を求めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $f(x)=\sqrt{x}$ \quad $[1,\,4]$
\item[(2)] $f(x)=e^x$ \quad $[0,\,1]$
\end{enumerate}
(1) $f(x)=\sqrt{x}$ は $[1,\,4]$ で連続，$(1,\,4)$ で微分可能で，$f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
$\dfrac{2-1}{4-1}=\dfrac{1}{2\sqrt{c}}$ より $\sqrt{c}=\dfrac{3}{2}$，$c=\dfrac{9}{4}$．$1<\dfrac{9}{4}<4$ を満たす．
(2) $f(x)=e^x$ は $[0,\,1]$ で連続，$(0,\,1)$ で微分可能で，$f'(x)=e^x$
$\dfrac{e-1}{1-0}=e^c$ より $c=\log(e-1)$
$2<e<3$ より $1<e-1<e$ であるから $0<\log(e-1)<1$ となり，$0<c<1$ を満たす．
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