平均値の定理を満たす c を求める（A）

（平均値の定理）$f(x)$ が $[a,\,b]$ で連続，$(a,\,b)$ で微分可能ならば \[ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c),\quad a<c<b \] を満たす $c$ が存在する． (1) $f(x)=x^3$ は $[0,\,3]$ で連続，$(0,\,3)$ で微分可能で，$f'(x)=3x^2$ $\dfrac{27-0}{3-0}=3c^2$ より $c^2=3$．$0<c<3$ より $c=\sqrt{3}$ (2) $f(x)=\log x$ は $[1,\,e]$ で連続，$(1,\,e)$ で微分可能で，$f'(x)=\dfrac{1}{x}$ $\dfrac{1-0}{e-1}=\dfrac{1}{c}$ より $c=e-1$．$2<e<3$ より $1<e-1<e$ であるから，これは $1<c<e$ を満たす． （(2) について，下図のように，曲線 $y=\log x$ 上の 2 点 $(1,\,0)$，$(e,\,1)$ を結ぶ直線と平行な接線を引ける点の $x$ 座標が $c$ である．）