媒介変数表示の d²y/dx²（B）

(1) $\dfrac{dx}{dt}=-2\sin t$，$\dfrac{dy}{dt}=\cos t$ であり，$0<t<\pi$ より $\sin t\neq 0$ であるから $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{\cos t}{2\sin t}$ ここで \[ \frac{d}{dt}\left(-\frac{\cos t}{2\sin t}\right)=-\frac{1}{2}\cdot\frac{(-\sin t)\sin t-\cos t\cdot\cos t}{\sin^2 t}=\frac{1}{2\sin^2 t} \] であるから \[ \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)\cdot\frac{dt}{dx}=\frac{1}{2\sin^2 t}\cdot\frac{1}{-2\sin t}=-\frac{1}{4\sin^3 t} \] (2) $y=\sin t$ であるから $\dfrac{d^2y}{dx^2}=-\dfrac{1}{4y^3}$ 一方，$\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$ を $x$ で微分すると $\dfrac{x}{2}+2yy'=0$ より，$y=\sin t>0$ であるから $y'=-\dfrac{x}{4y}$ さらに微分して \[ y''=-\frac{y-xy'}{4y^2}=-\frac{y+\dfrac{x^2}{4y}}{4y^2}=-\frac{4y^2+x^2}{16y^3} \] ここで，$\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$ より $x^2+4y^2=4$ であるから \[ y''=-\frac{4}{16y^3}=-\frac{1}{4y^3} \] となり，一致する．