媒介変数表示の d²y/dx²（A）

(1) $\dfrac{dx}{dt}=2t$，$\dfrac{dy}{dt}=3t^2$ であり，$t>0$ より $\dfrac{dx}{dt}\neq 0$ であるから $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^2}{2t}=\dfrac{3}{2}t$ \[ \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{3}{2}t\right)=\frac{d}{dt}\left(\frac{3}{2}t\right)\cdot\frac{dt}{dx}=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{\dfrac{dx}{dt}}=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2t}=\frac{3}{4t} \] (2) 両辺を $x$ で微分して $2x+2yy'=0$ より $y'=-\dfrac{x}{y}$ さらに $x$ で微分すると \[ y''=-\frac{1\cdot y-x\cdot y'}{y^2}=-\frac{y-x\left(-\dfrac{x}{y}\right)}{y^2}=-\frac{y^2+x^2}{y^3} \] $x^2+y^2=1$ であるから $\dfrac{d^2y}{dx^2}=-\dfrac{1}{y^3}$