x, y の方程式で表された関数の微分（B）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: x, y の方程式で表された関数の微分（A） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
次の方程式で定められる $x$ の関数 $y$ について，$\dfrac{dy}{dx}$ を求めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1$
\item[(2)] $x^3+y^3-3xy=0$
\item[(3)] $\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$
\end{enumerate}
(1) 両辺を $x$ で微分して $\dfrac{2x}{9}+\dfrac{2y}{4}\cdot\dfrac{dy}{dx}=0$
$y\neq 0$ のとき $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{4x}{9y}$
(2) $3x^2+3y^2\dfrac{dy}{dx}-3y-3x\dfrac{dy}{dx}=0$ より $(y^2-x)\dfrac{dy}{dx}=y-x^2$
$y^2-x\neq 0$ のとき $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y-x^2}{y^2-x}$
(3) $x>0$，$y>0$ のとき，両辺を $x$ で微分して $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+\dfrac{1}{2\sqrt{y}}\cdot\dfrac{dy}{dx}=0$ より $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}=-\sqrt{\dfrac{y}{x}}$
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