x, y の方程式で表された関数の微分（A）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: x, y の方程式で表された関数の微分（B） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
次の方程式で定められる $x$ の関数 $y$ について，$\dfrac{dy}{dx}$ を求めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $x^2+y^2=4$
\item[(2)] $y^2=4x$
\item[(3)] $x^2-xy+y^2=3$ \quad （また，点 $(1,\,2)$ における $\dfrac{dy}{dx}$ の値を求めよ）
\end{enumerate}
各式の両辺を $x$ で微分する．$y$ は $x$ の関数であるから $\dfrac{d}{dx}y^2=2y\dfrac{dy}{dx}$ である．
(1) $2x+2y\dfrac{dy}{dx}=0$ より，$y\neq 0$ のとき $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}$
(2) $2y\dfrac{dy}{dx}=4$ より，$y\neq 0$ のとき $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2}{y}$
(3) $2x-y-x\dfrac{dy}{dx}+2y\dfrac{dy}{dx}=0$ より $(2y-x)\dfrac{dy}{dx}=y-2x$
$2y-x\neq 0$ のとき $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y-2x}{2y-x}$
点 $(1,\,2)$ では $\dfrac{2-2}{4-1}=0$（この点で接線は $x$ 軸に平行．下図）
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