式を変形してから n 回微分（A）

(1) $\dfrac{a}{x-2}+\dfrac{b}{x-1}=\dfrac{(a+b)x-(a+2b)}{(x-1)(x-2)}$ が $\dfrac{1}{(x-1)(x-2)}$ に等しいから，$(a+b)x-(a+2b)=1$ は $x$ についての恒等式である．両辺の係数を比較して \[ a+b=0,\qquad -(a+2b)=1 \] これを解いて $a=1$，$b=-1$ (2) (1) より $y=\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{1}{x-1}$ $c$ を定数とすると，$\left(\dfrac{1}{x-c}\right)'=-\dfrac{1}{(x-c)^2}$ である．また，$\left(\dfrac{1}{x-c}\right)^{(k)}=\dfrac{(-1)^kk!}{(x-c)^{k+1}}$ が成り立つと仮定すると \[ \left(\frac{1}{x-c}\right)^{(k+1)}=(-1)^kk!\cdot\{-(k+1)\}(x-c)^{-k-2}=\frac{(-1)^{k+1}(k+1)!}{(x-c)^{k+2}} \] となる．よって，数学的帰納法により，すべての自然数 $n$ について $\left(\dfrac{1}{x-c}\right)^{(n)}=\dfrac{(-1)^nn!}{(x-c)^{n+1}}$ したがって \[ y^{(n)}=(-1)^nn!\left\{\frac{1}{(x-2)^{n+1}}-\frac{1}{(x-1)^{n+1}}\right\} \]