n 回微分の公式を帰納法で証明（B）

(1) $f'(x)=e^x\sin x+e^x\cos x=e^x(\sin x+\cos x)=\sqrt{2}\,e^x\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$ (2) 一般に，定数 $\theta$ に対して \[ \{e^x\sin(x+\theta)\}'=e^x\{\sin(x+\theta)+\cos(x+\theta)\}=\sqrt{2}\,e^x\sin\left(x+\theta+\frac{\pi}{4}\right)\ \cdots\text{①} \] 数学的帰納法で示す． [1] $n=1$ のときは (1) より成り立つ． [2] $n=k$ のとき $f^{(k)}(x)=(\sqrt{2})^ke^x\sin\left(x+\dfrac{k\pi}{4}\right)$ と仮定する．① で $\theta=\dfrac{k\pi}{4}$ として \[ f^{(k+1)}(x)=(\sqrt{2})^k\cdot\sqrt{2}\,e^x\sin\left(x+\frac{k\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\right)=(\sqrt{2})^{k+1}e^x\sin\left(x+\frac{(k+1)\pi}{4}\right) \] となり，$n=k+1$ のときも成り立つ． [1]，[2] より，すべての自然数 $n$ について成り立つ．