n 回微分の公式を帰納法で証明（A）

[1] $n=1$ のとき，$f'(x)=2xe^x+x^2e^x=(x^2+2x)e^x$ で，右辺は $(x^2+2x+0)e^x$ であるから成り立つ． [2] $n=k$ のとき成り立つと仮定すると $f^{(k)}(x)=\{x^2+2kx+k(k-1)\}e^x$ 両辺を微分して \[ f^{(k+1)}(x)=(2x+2k)e^x+\{x^2+2kx+k(k-1)\}e^x=\{x^2+2(k+1)x+k(k-1)+2k\}e^x \] $k(k-1)+2k=k(k+1)=(k+1)\{(k+1)-1\}$ であるから，$n=k+1$ のときも成り立つ． [1]，[2] より，すべての自然数 $n$ について成り立つ．