基本的な関数の第 n 次導関数（B）

(1) $y'=x^{-1}$ であるから，$\dfrac{1}{x}$ の第 $n-1$ 次導関数を求めればよい． \[ y^{(n)}=(-1)(-2)\cdots\{-(n-1)\}x^{-n}=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n} \] これが成り立つことを数学的帰納法で示す．$n=1$ のとき，$y'=\dfrac{1}{x}$ であるから成り立つ．$n=k$ のとき成り立つと仮定すると \[ y^{(k+1)}=\left\{(-1)^{k-1}(k-1)!\,x^{-k}\right\}'=(-1)^{k-1}(k-1)!\cdot(-k)x^{-k-1}=\frac{(-1)^kk!}{x^{k+1}} \] となり，$n=k+1$ のときも成り立つ．よって，すべての自然数 $n$ について成り立つ． (2) $\{\cos(2x+\theta)\}'=-2\sin(2x+\theta)=2\cos\left(2x+\theta+\dfrac{\pi}{2}\right)$ であるから，微分するごとに 2 倍され，$\dfrac{\pi}{2}$ が加わる．よって \[ y^{(n)}=2^n\cos\left(2x+\frac{n\pi}{2}\right) \] (3) $y=(1-x)^{-1}$ より $y'=(1-x)^{-2}$，$y''=2(1-x)^{-3}$，$y'''=3!(1-x)^{-4}$，$\cdots$ であるから \[ y^{(n)}=\frac{n!}{(1-x)^{n+1}} \] これが成り立つことを数学的帰納法で示す．$n=1$ のとき，$y'=(1-x)^{-2}$ であるから成り立つ．$n=k$ のとき成り立つと仮定すると \[ y^{(k+1)}=\left\{k!\,(1-x)^{-k-1}\right\}'=k!\cdot\{-(k+1)\}(1-x)^{-k-2}\cdot(-1)=\frac{(k+1)!}{(1-x)^{k+2}} \] となり，$n=k+1$ のときも成り立つ．よって，すべての自然数 $n$ について $y^{(n)}=\dfrac{n!}{(1-x)^{n+1}}$