基本的な関数の第 n 次導関数（A）

(1) $y'=2e^{2x}$ である．また，$y^{(k)}=2^ke^{2x}$ が成り立つと仮定すると，$y^{(k+1)}=2^k\cdot 2e^{2x}=2^{k+1}e^{2x}$ となる．よって，数学的帰納法により，すべての自然数 $n$ について $y^{(n)}=2^ne^{2x}$ (2) $y=x^{-1}$ より $y'=-x^{-2}$，$y''=(-1)(-2)x^{-3}$，$y'''=(-1)(-2)(-3)x^{-4}$，$\cdots$ であるから \[ y^{(n)}=(-1)(-2)\cdots(-n)x^{-n-1}=\frac{(-1)^nn!}{x^{n+1}} \] （$n=k$ で成り立つと仮定すると，$y^{(k+1)}=(-1)^kk!\cdot(-k-1)x^{-k-2}=\dfrac{(-1)^{k+1}(k+1)!}{x^{k+2}}$ となり，数学的帰納法により示される．） (3) $y'=\cos x=\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)$ である．一般に $\left\{\sin\left(x+\theta\right)\right\}'=\cos(x+\theta)=\sin\left(x+\theta+\dfrac{\pi}{2}\right)$ であるから，微分するごとに $\dfrac{\pi}{2}$ ずつ加わり \[ y^{(n)}=\sin\left(x+\frac{n\pi}{2}\right) \]