f(x+y) の等式から f'(x) を求める（B）
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: f(x+y) の等式から f'(x) を求める（A） （★★★☆☆☆☆（共通テスト））
問題
微分可能な関数 $f(x)$ が，すべての実数 $x$，$y$ について $f(x+y)=f(x)f(y)$ を満たし，$f(0)\neq 0$，$f'(0)=2$ であるとする．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $f(0)$ を求めよ．
\item[(2)] $f'(x)=2f(x)$ が成り立つことを示せ．
\item[(3)] $g(x)=e^{-2x}f(x)$ とおく．$g'(x)$ を計算することにより，$f(x)$ を求めよ．
\end{enumerate}
(1) $x=y=0$ とすると $f(0)=f(0)^2$．$f(0)\neq 0$ より $f(0)=1$
(2) 等式で $y=h$ とすると，(1) より $f(0)=1$ であるから $f(x+h)-f(x)=f(x)f(h)-f(x)=f(x)\{f(h)-f(0)\}$ となる．よって
\[ f'(x)=\lim_{h\to 0}f(x)\cdot\frac{f(h)-f(0)}{h}=f(x)f'(0)=2f(x) \]
(3) $g'(x)=-2e^{-2x}f(x)+e^{-2x}f'(x)=e^{-2x}\{f'(x)-2f(x)\}$ であり，(2) より $f'(x)-2f(x)=0$ であるから $g'(x)=0$
よって $g(x)$ は定数関数で，$g(x)=g(0)=f(0)=1$
したがって $f(x)=e^{2x}$
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