f(x+y) の等式から f'(x) を求める（A）
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: f(x+y) の等式から f'(x) を求める（B） （★★★☆☆☆☆（共通テスト））
問題
微分可能な関数 $f(x)$ が，すべての実数 $x$，$y$ について
\[ f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy \]
を満たし，$f'(0)=3$ であるとする．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $f(0)$ を求めよ．
\item[(2)] $f'(x)$ を求め，$f(x)$ を求めよ．
\end{enumerate}
(1) $x=y=0$ とすると $f(0)=2f(0)$ より $f(0)=0$
(2) 等式で $y=h$ とすると $f(x+h)-f(x)=f(h)+2xh$ である．また，(1) より $f(0)=0$ であるから
\[ f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\left\{\frac{f(h)-f(0)}{h}+2x\right\}=f'(0)+2x=2x+3 \]
よって $f(x)=x^2+3x+C$（$C$ は定数）．$f(0)=0$ より $C=0$
したがって $f(x)=x^2+3x$
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