具体的な関数の微分係数とみる極限（B）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: 具体的な関数の微分係数とみる極限（A） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
微分係数の定義を利用して，次の極限を求めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\displaystyle\lim_{x\to e}\frac{\log x-1}{x-e}$
\item[(2)] $\displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{\tan x-1}{x-\dfrac{\pi}{4}}$
\item[(3)] $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{2^x-1}{x}$
\item[(4)] $\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x^{10}-1}{x-1}$
\end{enumerate}
$\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)$ を用いる．
(1) $f(x)=\log x$ とすると $f(e)=1$．極限は $f'(e)=\dfrac{1}{e}$
(2) $f(x)=\tan x$ とすると $f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1$．極限は $f'\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\cos^2\frac{\pi}{4}}=2$
(3) $f(x)=2^x$ とすると $f(0)=1$．極限は $f'(0)=2^0\log 2=\log 2$
(4) $f(x)=x^{10}$ とすると $f(1)=1$．極限は $f'(1)=10$
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