微分係数の定義の形に直す極限（一般形）（B）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: 微分係数の定義の形に直す極限（一般形）（A） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
関数 $f(x)$ は $x=a$ で微分可能であるとする．次の極限を $a$，$f(a)$，$f'(a)$ を用いて表せ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(a+2h)-f(a-3h)}{h}$
\item[(2)] $\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{xf(a)-af(x)}{x-a}$
\item[(3)] $\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h^2)-f(a)}{h}$
\end{enumerate}
(1) $\dfrac{f(a+2h)-f(a-3h)}{h}=\dfrac{f(a+2h)-f(a)}{h}-\dfrac{f(a-3h)-f(a)}{h}=2\cdot\dfrac{f(a+2h)-f(a)}{2h}+3\cdot\dfrac{f(a-3h)-f(a)}{-3h}$
$h\to 0$ のとき $2f'(a)+3f'(a)=5f'(a)$
(2) 分子から $af(a)$ を引いて加えると $\dfrac{xf(a)-af(x)}{x-a}=\dfrac{xf(a)-af(a)+af(a)-af(x)}{x-a}=\dfrac{(x-a)f(a)-a\{f(x)-f(a)\}}{x-a}=f(a)-a\cdot\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\to f(a)-af'(a)$
(3) $\dfrac{f(a+h^2)-f(a)}{h}=h\cdot\dfrac{f(a+h^2)-f(a)}{h^2}$．$h\to 0$ のとき $h^2\to 0$ であるから $\dfrac{f(a+h^2)-f(a)}{h^2}\to f'(a)$．よって，求める極限は $0\cdot f'(a)=0$
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