微分係数の定義の形に直す極限（一般形）（A）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: 微分係数の定義の形に直す極限（一般形）（B） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
関数 $f(x)$ は $x=a$ で微分可能であるとする．次の極限を $a$，$f(a)$，$f'(a)$ を用いて表せ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(a+3h)-f(a)}{h}$
\item[(2)] $\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a-h)}{h}$
\item[(3)] $\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{x^2f(a)-a^2f(x)}{x-a}$
\end{enumerate}
$f'(a)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ の形を作る．
(1) $\dfrac{f(a+3h)-f(a)}{h}=3\cdot\dfrac{f(a+3h)-f(a)}{3h}\to 3f'(a)$
(2) $\dfrac{f(a+h)-f(a-h)}{h}=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}+\dfrac{f(a-h)-f(a)}{-h}\to f'(a)+f'(a)=2f'(a)$（下図）
(3) 分子に $a^2f(a)$ を引いて加えると
\[ \frac{x^2f(a)-a^2f(x)}{x-a}=\frac{x^2f(a)-a^2f(a)+a^2f(a)-a^2f(x)}{x-a}=\frac{(x+a)(x-a)f(a)-a^2\{f(x)-f(a)\}}{x-a}=(x+a)f(a)-a^2\cdot\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \]
$x\to a$ のとき $2af(a)-a^2f'(a)$
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