逆関数の微分で xᵖ の導関数を導く（B）

(1) $x=y^4$ より $\dfrac{dx}{dy}=4y^3$．$x>0$ のとき $y>0$ であるから，$\dfrac{dx}{dy}>0$ である．よって $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{4y^3}=\dfrac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$ (2) (ア) $y=x^{\frac{7}{3}}$ より $y'=\dfrac{7}{3}x^{\frac{4}{3}}=\dfrac{7}{3}x\sqrt[3]{x}$ (イ) $y=x^{-\frac{3}{2}}$ より $y'=-\dfrac{3}{2}x^{-\frac{5}{2}}=-\dfrac{3}{2x^2\sqrt{x}}$ (3) $y=g(x)$ とすると $x=f(y)=y^3+2y-1$．$x=2$ のとき $y^3+2y-3=0$ より $(y-1)(y^2+y+3)=0$ で，$y^2+y+3=\left(y+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{11}{4}>0$ であるから，実数解は $y=1$ のみである． $\dfrac{dx}{dy}=f'(y)=3y^2+2>0$ であるから，逆関数の微分法により \[ g'(x)=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\dfrac{dx}{dy}}=\frac{1}{f'(y)} \] $x=2$ のとき $y=1$ であるから \[ g'(2)=\frac{1}{f'(1)}=\frac{1}{3+2}=\frac{1}{5} \]