逆関数の微分で xᵖ の導関数を導く（A）

(1) $x=y^3$ より $\dfrac{dx}{dy}=3y^2$．$x>0$ のとき $y>0$ であるから，$\dfrac{dx}{dy}>0$ である．よって \[ \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\dfrac{dx}{dy}}=\frac{1}{3y^2}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \] (2) (ア) $y=x^{\frac{3}{2}}$ より $y'=\dfrac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}=\dfrac{3}{2}\sqrt{x}$ (イ) $y=x^{-\frac{2}{3}}$ より $y'=-\dfrac{2}{3}x^{-\frac{5}{3}}=-\dfrac{2}{3x\sqrt[3]{x^2}}$ (3) $y=g(x)$ とすると $x=f(y)=y^3+y$ である．$x=2$ のとき $y^3+y=2$ より $y=1$（$f'(y)=3y^2+1>0$ より $y^3+y$ は $y$ の増加関数であるから，ただ 1 つ）． $\dfrac{dx}{dy}=f'(y)>0$ であるから，逆関数の微分法により \[ g'(x)=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\dfrac{dx}{dy}}=\frac{1}{f'(y)} \] $x=2$ のとき $y=1$ であるから \[ g'(2)=\frac{1}{f'(1)}=\frac{1}{3\cdot 1^2+1}=\frac{1}{4} \]