定義に従って 1/x, √x を微分する（A）

$f'(x)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ を計算する． (1) \[ f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\left(\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}\right)=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot\frac{-h}{x(x+h)}=\lim_{h\to 0}\left\{-\frac{1}{x(x+h)}\right\}=-\frac{1}{x^2} \] (2) $x>0$ のとき \[ f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}} \] (3) \[ f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^3-x^3}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{3x^2h+3xh^2+h^3}{h}=\lim_{h\to 0}(3x^2+3xh+h^2)=3x^2 \]