内分を繰り返す点の極限の位置（A）

$\mathrm{P}_{n+2}$ は線分 $\mathrm{P}_n\mathrm{P}_{n+1}$ を $2:1$ に内分する点であるから \[ x_{n+2}=\frac{x_n+2x_{n+1}}{3} \] 変形すると $x_{n+2}-x_{n+1}=-\dfrac{1}{3}(x_{n+1}-x_n)$ 数列 $\{x_{n+1}-x_n\}$ は初項 $x_2-x_1=3$，公比 $-\dfrac{1}{3}$ の等比数列であるから $x_{n+1}-x_n=3\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}$ $n\geqq 2$ のとき \[ x_n=0+\sum_{k=1}^{n-1}3\left(-\frac{1}{3}\right)^{k-1}=\frac{3\left\{1-\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}\right\}}{\dfrac{4}{3}}=\frac{9}{4}\left\{1-\left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1}\right\} \] これは $n=1$ のときも成り立つ． $\left|-\dfrac{1}{3}\right|<1$ より $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1}=0$ であるから $\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=\frac{9}{4}$