母比率の信頼区間（B）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 母比率の信頼区間（A） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
ある意見の賛成率 $p$ を，信頼度 $95\%$ で推定したい．信頼区間の幅を $0.04$ 以下にするには，何人以上を調査すればよいか．賛成率についての予想はないものとする．ただし，$Z$ が標準正規分布に従うとき，$P(|Z|\leqq 1.96)=0.95$ とする．
標本の大きさを $n$，標本比率を $R$ とすると，信頼区間の幅は $2\times 1.96\sqrt{\dfrac{R(1-R)}{n}}$．
$R(1-R)=\dfrac{1}{4}-\left(R-\dfrac{1}{2}\right)^2\leqq\dfrac{1}{4}$ であるから，$R$ がどのような値でも幅が $0.04$ 以下になるためには
\[ 2\times 1.96\sqrt{\frac{1}{4n}}\leqq 0.04 \qquad \frac{1.96}{\sqrt{n}}\leqq 0.04 \qquad \sqrt{n}\geqq 49 \]
よって $n\geqq 2401$ であり，2401 人以上を調査すればよい．
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