大数の法則（相対度数の確率）（A）

$n=500,\ 4500$ はどちらも大きいから，$R$ は近似的に正規分布 $N\left(\dfrac{1}{6},\ \dfrac{1}{n}\cdot\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{5}{6}\right)$ に従い，$\sigma(R)=\sqrt{\dfrac{5}{36n}}$ である．また，$Z=\dfrac{R-\frac{1}{6}}{\sigma(R)}$ とおくと，$Z$ は近似的に $N(0,\ 1)$ に従う． (1) $n=500$ のとき $\sigma(R)=\sqrt{\dfrac{5}{18000}}=\dfrac{1}{60}$．$\dfrac{1}{30}=2\sigma(R)$ であるから，与えられた値より \[ P\left(\left|R-\frac{1}{6}\right|\leqq\frac{1}{30}\right)=P(|Z|\leqq 2)=2\times 0.4772=0.9544 \] (2) $n=4500$ のとき $\sigma(R)=\sqrt{\dfrac{5}{162000}}=\dfrac{1}{180}$．$\dfrac{1}{30}=6\sigma(R)$ であるから \[ P\left(\left|R-\frac{1}{6}\right|\leqq\frac{1}{30}\right)=P(|Z|\leqq 6)\fallingdotseq 1 \] このように，$n$ を大きくすると相対度数 $R$ は確率 $\dfrac{1}{6}$ に近い値をとる確率が $1$ に近づく（大数の法則）．