確率密度関数から期待値・標準偏差を求める（B）

\[ E(X)=\int_0^2 x\cdot\frac{3}{4}x(2-x)\,dx=\int_0^2\frac{3}{4}(2x^2-x^3)\,dx=\frac{3}{4}\left[\frac{2x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\right]_0^2=\frac{3}{4}\left(\frac{16}{3}-4\right)=1 \] （グラフが直線 $x=1$ に関して対称であることからもわかる．） \[ E(X^2)=\int_0^2 x^2\cdot\frac{3}{4}x(2-x)\,dx=\int_0^2\frac{3}{4}(2x^3-x^4)\,dx=\frac{3}{4}\left[\frac{x^4}{2}-\frac{x^5}{5}\right]_0^2=\frac{3}{4}\left(8-\frac{32}{5}\right)=\frac{6}{5} \] \[ V(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2=\frac{6}{5}-1^2=\frac{1}{5},\qquad \sigma(X)=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5} \] よって，$X$ の期待値は $1$，分散は $\dfrac{1}{5}$，標準偏差は $\dfrac{\sqrt{5}}{5}$ である．