確率密度関数から期待値・標準偏差を求める（A）

$X$ のとる値の範囲が $0\leqq X\leqq 2$ であるから，$E(X)=\displaystyle\int_0^2 xf(x)\,dx$，$V(X)=\displaystyle\int_0^2 x^2f(x)\,dx-\{E(X)\}^2$ である． \[ E(X)=\int_0^2 x\cdot\frac{x}{2}\,dx=\left[\frac{x^3}{6}\right]_0^2=\frac{4}{3} \] \[ \int_0^2 x^2\cdot\frac{x}{2}\,dx=\left[\frac{x^4}{8}\right]_0^2=2 \qquad\text{より}\quad V(X)=2-\left(\frac{4}{3}\right)^2=\frac{2}{9} \] \[ \sigma(X)=\sqrt{\frac{2}{9}}=\frac{\sqrt{2}}{3} \] よって，$X$ の期待値は $\dfrac{4}{3}$，分散は $\dfrac{2}{9}$，標準偏差は $\dfrac{\sqrt{2}}{3}$ である． （密度が右ほど大きいので，期待値は区間の中央 $1$ より右の $\dfrac{4}{3}$ となる．）