密度関数の定数を決めて確率を求める（B）

(1) 確率密度関数のグラフと $x$ 軸で囲まれた部分の面積は $1$ であるから，$\displaystyle\int_0^2 ax(2-x)\,dx=a\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^2=a\left(4-\frac{8}{3}\right)=\frac{4}{3}a=1$ より $a=\dfrac{3}{4}$ (2) 求める確率は下図の網目部分の面積で \begin{align*} P\left(X\geqq\frac{3}{2}\right)&=\int_{\frac{3}{2}}^{2}\frac{3}{4}(2x-x^2)\,dx=\frac{3}{4}\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]_{\frac{3}{2}}^{2}\\ &=\frac{3}{4}\left\{\frac{4}{3}-\left(\frac{9}{4}-\frac{9}{8}\right)\right\}=\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{24}=\frac{5}{32} \end{align*}