密度関数の定数を決めて確率を求める（A）

(1) 確率密度関数のグラフと $x$ 軸で囲まれた部分の面積は $1$ であるから \[ \int_0^2 ax\,dx=a\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^2=2a=1 \qquad\text{よって}\quad a=\frac{1}{2} \] （グラフは底辺 2，高さ $2a$ の三角形で，面積 $\dfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 2a=1$ からも求められる．） (2) 求める確率は下図の網目部分の面積で \[ P\left(\frac{1}{2}\leqq X\leqq 1\right)=\int_{\frac{1}{2}}^{1}\frac{x}{2}\,dx=\left[\frac{x^2}{4}\right]_{\frac{1}{2}}^{1}=\frac{1}{4}-\frac{1}{16}=\frac{3}{16} \]