場合の数を3項間の漸化式で求める（B）
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 場合の数を3項間の漸化式で求める（A） （★★★☆☆☆☆（共通テスト））
問題
縦 1，横 $n$ の長方形の枠を，縦 1・横 1 の赤のタイル，縦 1・横 1 の白のタイル，縦 1・横 2 の青のタイルを使って隙間なく敷き詰める．敷き詰め方の総数を $a_n$ とする．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $a_{n+2}$ を $a_{n+1}$，$a_n$ で表せ．
\item[(2)] $a_6$ を求めよ．
\end{enumerate}
(1) 横 $n+2$ の枠の右端に置くタイルで場合分けする（下図）．
\begin{itemize}
\item 右端が赤または白（横 1）：残りは横 $n+1$ で，$2a_{n+1}$ 通り
\item 右端が青（横 2）：残りは横 $n$ で，$a_n$ 通り
\end{itemize}
よって $a_{n+2}=2a_{n+1}+a_n$
(2) $a_1=2$（赤・白），$a_2=2\cdot 2+1=5$（赤赤，赤白，白赤，白白，青）．順に
\[ a_3=2\cdot 5+2=12,\ a_4=2\cdot 12+5=29,\ a_5=2\cdot 29+12=70,\ a_6=2\cdot 70+29=169 \]
よって $a_6=169$
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