絶対値を含む定積分（区間を分ける）（A）

絶対値の中の符号で積分区間を分ける． (1) $0\leqq x\leqq 1$ で $|x-1|=1-x$，$1\leqq x\leqq 3$ で $|x-1|=x-1$． \[ \int_0^1(1-x)\,dx+\int_1^3(x-1)\,dx=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2} \] (2) $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$ は $1<x<2$ で負，それ以外で $0$ 以上．$F(x)=\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{3}{2}x^2+2x$ とおくと \[ \begin{aligned} \int_0^3|x^2-3x+2|\,dx&=\int_0^1(x^2-3x+2)\,dx-\int_1^2(x^2-3x+2)\,dx+\int_2^3(x^2-3x+2)\,dx\\ &=\{F(1)-F(0)\}-\{F(2)-F(1)\}+\{F(3)-F(2)\} \end{aligned} \] $F(0)=0$，$F(1)=\dfrac{5}{6}$，$F(2)=\dfrac{2}{3}$，$F(3)=\dfrac{3}{2}$ であるから \[ \frac{5}{6}+\frac{1}{6}+\frac{5}{6}=\frac{11}{6} \] （下図の網目部分の面積に等しい）