累乗の素因数に注目する有理数・無理数の問題（B）

$12=2^2\cdot 3$ であるから，$2^{x-2}=3^{1-y}$ ……① $x-2,\ 1-y$ は有理数であるから，自然数 $n$ と整数 $a,\ b$ を用いて $x-2=\dfrac{a}{n}$，$1-y=\dfrac{b}{n}$ と表せる．① の両辺を $n$ 乗すると \[ 2^a=3^b \quad\cdots\text{②} \] $a>0$ のとき，② の左辺は 1 より大きい偶数で，右辺が 1 より大きいためには $b>0$ が必要だが，そのとき右辺は奇数となり矛盾． $a<0$ のとき，② の両辺の逆数をとると $2^{-a}=3^{-b}$ となり，$-a>0$ であるから，$a>0$ のときと同様にして矛盾する． よって $a=0$ で，このとき $3^b=1$ より $b=0$．したがって $x-2=0$，$1-y=0$ で \[ x=2,\qquad y=1 \]