累乗の素因数に注目する有理数・無理数の問題（A）

(1) $\log_2 3$ が有理数であると仮定する．$\log_2 3>\log_2 1=0$ であるから，自然数 $m,\ n$ を用いて $\log_2 3=\dfrac{m}{n}$ と表せる．このとき \[ 2^{\frac{m}{n}}=3 \quad\text{より}\quad 2^m=3^n \] 左辺は偶数，右辺は奇数であるから矛盾．よって $\log_2 3$ は無理数である． (2) $\log_{10}2$ が有理数であると仮定すると，$\log_{10}2>0$ より自然数 $m,\ n$ を用いて $\log_{10}2=\dfrac{m}{n}$ と表せ，$10^m=2^n$． $0<\log_{10}2<\log_{10}10=1$ より $m<n$ である．$10^m=2^m\cdot 5^m$ であるから $5^m=2^{n-m}$．左辺は 5 の倍数（$m\geqq 1$）であるが，右辺は 5 の倍数でないから矛盾．よって $\log_{10}2$ は無理数である． \hfill 〔証明終〕