3¹⁰⁰ の先頭の数字と末尾の数字（B）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 3¹⁰⁰ の先頭の数字と末尾の数字（A） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}7=0.8451$ とする．$7^{30}$ について，次の問いに答えよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] 何桁の数か．
\item[(2)] 最高位の数字を求めよ．
\item[(3)] 一の位の数字を求めよ．
\end{enumerate}
(1) $\log_{10}7^{30}=30\times 0.8451=25.353$ より $10^{25}<7^{30}<10^{26}$．よって，26 桁の数．
(2) $7^{30}=10^{25}\times 10^{0.353}$．$\log_{10}2=0.3010<0.353<0.4771=\log_{10}3$ であるから $2<10^{0.353}<3$．最高位の数字は $2$
(3) $7^{n+1}$ の一の位は，$7^n$ の一の位に 7 を掛けた数の一の位である．$7^1=7$，$7^2=49$，$7^3=343$，$7^4=2401$ であるから，$7^n$ の一の位は $7,\ 9,\ 3,\ 1$ をくり返す（周期 4）．$30=4\times 7+2$ であるから，$7^2=49$ の一の位と同じで $9$
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