3¹⁰⁰ の先頭の数字と末尾の数字（A）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 3¹⁰⁰ の先頭の数字と末尾の数字（B） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$ とする．$3^{100}$ について，次の問いに答えよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] 何桁の数か．
\item[(2)] 最高位の数字を求めよ．
\item[(3)] 一の位の数字を求めよ．
\end{enumerate}
(1) $\log_{10}3^{100}=47.71$ より $10^{47}<3^{100}<10^{48}$．48 桁の数．
(2) $3^{100}=10^{47.71}=10^{47}\times 10^{0.71}$．最高位の数字は $10^{0.71}$ の整数部分である．
$\log_{10}5=1-0.3010=0.6990$，$\log_{10}6=0.3010+0.4771=0.7781$ で，$0.6990<0.71<0.7781$ より $5<10^{0.71}<6$．
よって，最高位の数字は $5$
(3) $3^{n+1}$ の一の位は，$3^n$ の一の位に 3 を掛けた数の一の位である．$3^1=3$，$3^2=9$，$3^3=27$，$3^4=81$ であるから，$3^n$ の一の位は，$n=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \ldots$ に対して $3,\ 9,\ 7,\ 1$ をくり返す（周期 4）．$100=4\times 25$ であるから，$3^{100}$ の一の位は $3^4$ の一の位と同じで $1$
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