常用対数で不等式を満たす n を求める（A）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 常用対数で不等式を満たす n を求める（B） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$ とする．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $1.5^n>100$ を満たす最小の自然数 $n$ を求めよ．
\item[(2)] $2^n$ が 20 桁の数となるような自然数 $n$ をすべて求めよ．
\end{enumerate}
(1) 両辺の常用対数をとると $n\log_{10}1.5>2$．$\log_{10}1.5=\log_{10}\dfrac{3}{2}=0.4771-0.3010=0.1761>0$ であるから
\[ n>\frac{2}{0.1761}=11.3\cdots \]
よって，最小の自然数は $n=12$
(2) $2^n$ が 20 桁であるための条件は $10^{19}\leqq 2^n<10^{20}$
各辺の常用対数をとって $19\leqq 0.3010n<20$
\[ 63.1\cdots\leqq n<66.4\cdots \]
よって $n=64,\ 65,\ 66$
⭐ お気に入り 0
ログインするとお気に入り・印刷リスト・PDF出力が使えます