指数をおき換えて2次関数にする最大・最小（B）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 指数をおき換えて2次関数にする最大・最小（A） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
\begin{enumerate}
\item[(1)] 関数 $y=9^x-2\cdot 3^{x+1}+10$ の最小値と，そのときの $x$ の値を求めよ．
\item[(2)] 関数 $y=4^x+4^{-x}-2(2^x+2^{-x})$ の最小値と，そのときの $x$ の値を求めよ．
\end{enumerate}
(1) $t=3^x$ とおくと $t>0$ で
\[ y=t^2-6t+10=(t-3)^2+1 \]
$t=3$ すなわち $x=1$ のとき最小値 $1$
(2) $t=2^x+2^{-x}$ とおく．$2^x>0$，$2^{-x}>0$ であるから，相加平均と相乗平均の関係より $t\geqq 2\sqrt{2^x\cdot 2^{-x}}=2$（等号は $x=0$ のとき）．
$4^x+4^{-x}=(2^x+2^{-x})^2-2=t^2-2$ であるから
\[ y=t^2-2-2t=(t-1)^2-3\quad(t\geqq 2) \]
$t\geqq 2$ で $y$ は増加するから，$t=2$ すなわち $x=0$ のとき最小値 $-2$
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