逆数との和・差の値から式の値（B）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 逆数との和・差の値から式の値（A） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
$2^x-2^{-x}=3$ のとき，次の式の値を求めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $4^x+4^{-x}$
\item[(2)] $8^x-8^{-x}$
\item[(3)] $2^x+2^{-x}$
\end{enumerate}
$t=2^x$ とおくと $t-t^{-1}=3$，$t>0$ である．
(1) $4^x+4^{-x}=t^2+t^{-2}=(t-t^{-1})^2+2=9+2=11$
(2) $8^x-8^{-x}=t^3-t^{-3}=(t-t^{-1})^3+3(t-t^{-1})=27+9=36$
(3) $(t+t^{-1})^2=(t-t^{-1})^2+4=13$．$t+t^{-1}>0$ であるから $2^x+2^{-x}=\sqrt{13}$
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